Créditos ECTS Créditos ECTS: 9
Horas ECTS Criterios/Memorias Horas de Tutorías: 2 Clase Expositiva: 56 Clase Interactiva: 28 Total: 86
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Álgebra, Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Ésta es una asignatura sobre los fundamentos de las matemáticas y ofrece una preparación para las demás asignaturas de la carrera de matemáticas. El alumnado desarrollará buenos hábitos de comprensión, comunicación y escritura matemáticas. En ella se trabajarán métodos y técnicas de razonamiento. Los métodos se aplicarán para resolver varios problemas interesantes. Podría decirse que se trata de una asignatura sobre entender y pensar, y no sobre calcular y memorizar reglas.
El programa explora temas que involucran números, conjuntos y funciones. Con propiedades elementales de éstos, se pasa a la inducción y la cardinalidad. El estudio de los números naturales incluye las propiedades de divisibilidad y la aritmética modular.
1. Introducción a la lógica matemática. (2 horas expositivas)
2. Conjuntos. (4 horas expositivas)
2.1. Conjuntos y elementos. Subconjuntos: Partes de un conjunto.
2.2. Operaciones con conjuntos: Propiedades. El álgebra de Boole de las partes de un conjunto.
2.3. Recubrimiento y partición. Unión disjunta y producto cartesiano.
3. Aplicaciones. (5 horas expositivas)
3.1. Concepto de aplicación. Gráfica de una aplicación: Ejemplos.
3.2. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
3.3. Composición de aplicaciones; propiedades; aplicación inversa.
3.4. Extensiones de una aplicación al conjunto de partes.
4. Relaciones. (6 horas expositivas)
4.1. Noción de relación. Composición de relaciones. Relación inversa.
4.2. Representaciones gráficas.
4.3. Relaciones binarias en un conjunto; propiedades. Relación inducida.
4.4. Relaciones de equivalencia: Clases de equivalencia: Propiedades. Conjunto cociente. Ejemplo: los números racionales.
4.5. Factorización canónica de una aplicación.
4.6. Relaciones de orden: Representaciones gráficas: diagramas de Hasse (árboles). Orden total y parcial. Elementos destacados de un conjunto ordenado. Cadenas, retículos y conjuntos bien ordenados.
5. Conjuntos infinitos. (6 horas expositivas)
5.1. Conjuntos finitos e infinitos.
5.2. Principio de inducción. Operaciones y orden en N.
5.3. Cardinalidad. Teorema de Cantor Bernstein. Relación de orden.
5.4. Conjuntos numerables y no numerables. Numerabilidad de Q y no numerabilidad de R.
5.5. Cardinalidad de uniones, productos, el conjunto de partes, etc.
5.6. El axioma de elección y el lema de Zorn. Aplicación 1: la relación de orden entre cardinales es de orden total. Aplicación 2: cardinal de AxA cuando A es un conjunto infinito.
6. Combinatoria. (4 horas expositivas)
6.1. Número de aplicaciones y de aplicaciones inyectivas entre conjuntos finitos.
6.2. Permutaciones. Permutaciones con repetición.
6.3. Números combinatorios. Combinaciones. El binomio de Newton. Combinaciones con repetición.
6.4. Principio de inclusión-exclusión. Número de aplicaciones sobreyectivas entre conjuntos finitos.
7. Estructuras algebraicas. (3 horas expositivas)
7.1. Grupos, homomorfismos e isomorfismos de grupos.
7.2. Grupos cíclicos.
7.3. Grupos simétricos. Signo de una permutación.
8. El anillo de los números enteros. (5 horas expositivas)
8.1. Anillos e ideales; homomorfismos e isomorfismos de anillos.
8.2. Números enteros y estructura de (Z,+). Propiedades de Z.
8.3. Divisibilidad. Números primos. Máximo divisor común y mínimo múltiplo común.
8.4. Teorema de Bézout. Teorema fundamental de la aritmética.
8.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides extendido.
9. Aritmética modular. (8 horas expositivas)
9.1. Congruencias. Los anillos Z/(n). Los grupos de unidades módulo n.
9.2. La función fi de Euler y el teorema de Euler-Fermat.
9.3. Introducción a las ecuaciones diofánticas. Resolución de ecuaciones diofánticas lineales.
9.4. El teorema chino de los restos. Multiplicatividad de la función fi de Euler.
10. Aritmética de polinomios en una variable. (4 horas expositivas)
10.1. Polinomios en una variable sobre un cuerpo. Grado de un polinomio.
10.2. Divisibilidad, unidades y polinomios irreducibles.
10.3. División euclídea y el teorema de Bezout.
11. Operaciones y relaciones entre subconjuntos de R^n. (9 horas expositivas)
11.1 Números reales, propiedades.
11.2 Producto interior, norma y distancia.
11.3 Aplicaciones: imágenes directas, recíprocas e inversas en R^n. Ejemplos.
11.4 Intersecciones, uniones, relaciones y conjuntos cocientes en R^n. Ejemplos.
Bibliografía básica:
J.P. D’Angelo, D. B. West: Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.
M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente, M. Rodríguez: Álgebra y Fundamentos: una Introducción, Ariel, 2000.
Frans Keune: Elements of Higher Mathematics. Learning Mathematics through Numbers
Radboud University Press, 2024.
Descarga gratuita en https://books.radbouduniversitypress.nl/index.php/rup/catalog/book/elem…
( https://doi.org/10.54195/PEAQ9203 )
Bibliografía complementaria:
M. Anzola, J. Caruncho: Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), 1982.
E. D. Bloch: Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics, Springer, 2011.
T. S. Blyth, E. F. Robertson: Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.
R. Courant, H. Robbins: What Is Mathematics? 1941 (2ª ed., rev. por Ian Stewart, Oxford University Press, 1996). Existen traducciones al español.
K. Houston: How to Think Like a Mathematician, Cambridge University Press , 2009.
H. Rademacher, O. Toeplitz: Números y Figuras. Alianza editorial, 1970.
Conocimientos: Con01, Con02, Con03, Con04, Con05.
Habilidades: H/D01, H/D02, H/D03, H/D04, H/D06, H/D07, H/D08.
Competencias: Comp01, Comp02, Comp03, Comp04.
La distribución semanal de la materia será la siguiente: 4 horas de clases de expositivas y 2 horas de laboratorio. Las clases expositivas en grupo grande se dedicarán
a la exposición de los contenidos fundamentales de la disciplina, con la exposición de la teoría, ejemplos, resolución de problemas y presentación de algunos ejercicios.
En las clases laboratorio se tratarán aspectos complementarios de la materia,
realización de problemas y ejercicios y resolución de dudas generales, donde generalmente el protagonismo fundamental será de los alumnos, que deberán presentar ejercicios y exposiciones relacionados con la materia.
El sistema de evaluación será coordinado para los dos grupos de la materia. Se prevé como criterio de evaluación la evaluación continua combinada con una prueba final. Esta prueba final se celebrará en la fecha fijada por la Facultad de Matemáticas a tal efecto y será la misma para todos los alumnos de la materia. La evaluación continua consistirá en pruebas (una o dos en el curso) que podrán coincidir o no para los distintos grupos, pero estarán coordinadas y serán similares. También podrá evaluarse la realización de problemas en las horas de laboratorio.
La prueba final constará de:
Resolución por escrito de cuestiones teóricas y resolución por escrito de cuestiones prácticas: 35%-65%.
Enunciado de teoremas, desarrollo de demostraciones y resolución de problemas/ejercicios: 35%-65%.
Para el cómputo de la calificación final (N) se tendrá en cuenta la evaluación continua (C) y la calificación del examen final (F) y se aplicará la siguiente fórmula:
N= máx (F, 0,20*C+0,80*F)
Esta misma fórmula será también de aplicación en el período extraordinario de Julio.
Se considerará "no presentado" el estudiante que no acuda a ninguna de las dos oportunidades correspondientes. Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de Evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.
Horas presenciales:
- Clases expositivas: 56 horas.
- Clases interactivas de laboratorio: 28 horas.
Tutorías en grupo reducido: 2 horas.
Trabajo personal del alumno: 139 horas
No estudiar métodos de resolver problemas concretos, sino estudiar la teoría antes de abordar los problemas propuestos y aprovechar éstos tanto para comprobar que se ha entendido la teoría como para desarrollar la capacidad de resolver nuevos problemas a partir de la teoría.
Leovigildo Alonso Tarrio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álgebra
- Teléfono
- 881813159
- Correo electrónico
- leo.alonso [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
María Elena Vázquez Abal
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813143
- Correo electrónico
- elena.vazquez.abal [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
José Javier Majadas Soto
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álgebra
- Teléfono
- 881813168
- Correo electrónico
- j.majadas [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
Miguel Dominguez Vazquez
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813156
- Correo electrónico
- miguel.dominguez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego, Castellano | Aula 02 |
| Martes | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano, Gallego | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 07 |
| Miércoles | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego, Castellano | Aula 03 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_03 | Gallego, Castellano | Aula 08 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano | Aula 09 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego, Castellano | Aula 05 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula 09 |
| Jueves | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Gallego, Castellano | Aula 01 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego, Castellano | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| Viernes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano, Gallego | Aula 01 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Castellano, Gallego | Aula 07 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_03 | Gallego, Castellano | Aula 01 |
| 09.01.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 19.06.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |