Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemática Aplicada
Áreas: Matemática Aplicada
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria:
Docencia: Sin docencia (Extinguida)
Matrícula: No matriculable
Simular numéricamente modelos matemáticos en diversas áreas de la Ingeniería,, Medicina, y las Ciencias Aplicadas, en general, formulados como ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales.
La elección de los problemas y métodos de resolución cubrirán los siguientes tópicos:
- Problemas estacionarios, evolutivos, en una o varias dimensiones con diferencias finitas y elementos finitos.
- Simulación de fenómenos no lineales, evolutivos y/o acoplados con incógnitas escalares, vectoriales y/o tensoriales.
- Ejemplos en mecánica de sólidos, fluidos, térmica, electrostática, acústica, de interacción fluido estructura, y en el ámbito de la biomedicina y de la ingeniería.
-Manejo de paquetes de software (MATLAB y COMSOL).
Para cada una de las aplicaciones consideradas se hará una breve descripción del problema real, la escritura concisa del correspondiente modelo matemático, se identificarán los datos disponibles y relevantes, se hará una descripción práctica del método numérico a utilizar, su programación e implementación en ordenador en los casos unidimensionales, la resolución en ordenador utilizando paquetes de cálculo en dimensiones 2 y 3, el análisis y la crítica de los resultados calculados, la validación del modelo, la manipulación de los resultados para realizar cálculos postproceso, y la redacción y presentación de conclusiones.
1.Introducción. Importancia de la simulación numérica. El proceso de simulación de problemas industriales. Tecnologías matemáticas involucradas. Horas expositivas: 0.5.
2. Problemas de contorno 1D con condiciones de contorno Dirichlet. Existencia de solución. Repaso a su resolución mediante diferencias finitas. Convergencia del método. Cálculo de la solución exacta, solución discreta, orden numérico de convergencia, representaciones gráficas y postproceso. Aplicación a la ecuación del calor estacionaria. Resolución de problemas con simetría esférica. Horas: expositivas 1.5, clases interactivas de laboratorio 3.5.
3. Problemas de contorno 1D con condiciones de contorno generales. Existencia de solución. Deducción e implementación de la discretización por diferencias finitas. Programación del método. Diseño de tests académicos. Aplicación en propagación de enfermedades. Aplicación al cálculo del balance de masa de un reactor en estado estacionario; cálculo de la solución analítica y numérica; análisis de inestabilidades numéricas. Reproducción de tablas y gráficas de resultados en ejemplos publicados en la bibliografía. Horas expositivas: 1.5; clases interactivas de laboratorio 2.5.
4. Problemas de contorno 1D no lineales. Implementación de algoritmos de iteración funcional y de Newton para resolver no linealidades. Diseño de tests académicos no lineales. Aplicación de los algoritmos programados al cálculo del balance de masa de un reactor con decaimiento no lineal del soluto. Horas expositivas: 1; clases interactivas de laboratorio 3.
5. Problemas de contorno 1D evolutivos. Discretización de problemas evolutivos. Implementación de los algoritmos obtenidos. Estabilidad de la discretización. Diseño de tests académicos evolutivos lineales y no lineales. Aplicación de los algoritmos programados al cálculo del balance de masa de un reactor dinámico, con decaimiento lineal y no lineal; verificación numérica de la conservación de la masa. Reproducción de tablas y gráficas de resultados en ejemplos publicados en la bibliografía. Horas expositivas: 1; clases interactivas de laboratorio 3.
6. Resolución de problemas de valor inicial asociados a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Postproceso de la solución y validación con modelos publicados en la bibliografía. Resolución de un modelo determinista de evolución de pandemias. Horas expositivas: 1.5; clases interactivas de laboratorio 0.5.
7. Método de elementos finitos para resolver problemas de contorno 1D: formulación variacional, existencia y unicidad de solución débil, orden de convergencia. Cálculo de las matrices y vectores elementales correspondientes a elementos Lagrange de orden 1 y 2. Implementación del método para diferentes condiciones de contorno. Verificación del algoritmo para los tests académicos diseñados en 3. Aplicación a un modelo de elongación de barras, y a un modelo de transferencia de calor con uno o varios materiales. Aproximación con elementos finitos de las aplicaciones ya introducidas en 3. Horas expositivas: 3.5; clases interactivas de laboratorio 4.5.
8. Método de elementos finitos para resolver problemas de contorno 1D no lineales y evolutivos. Incorporación de la dependencia respecto del tiempo. Verificación del algoritmo para los tests académicos diseñados en 4. Aplicación al cálculo del balance de masa de un reactor en los supuestos lineal y no lineal, estacionario y dinámico. Horas: clases interactivas de laboratorio 3.
9. Generalización del método de elementos finitos al caso 2D: formulación variacional, existencia y unicidad de solución débil, orden de convergencia. Introducción a la herramienta PDE Modeler de MATLAB. Análisis de los modelos físicos incorporados. Introducción al concepto de CAD. Realización de CADs de geometrías elementales y no elementales. Análisis de la metodología de simulación en 2D. Resolución de problemas con solución académica conocida: Identificación de los principales punteros generados, y su manipulación para realizar programas de postproceso sobre los resultados. Cálculo del error en norma L2 y H1. Resolución de la ecuación del calor 2D. Interpretación física de los resultados y postproceso de éstos. Horas: expositivas 1, clases interactivas de laboratorio 4.
10. Simulación con MATLAB de modelos 2D en Mecánica de sólidos, electrostática y transferencia de calor. Aplicación a geometrías multi material. Incorporación de la dependencia respecto al tiempo. Mallados adaptativos. Simplificación de problemas 3D utilizando hipótesis de simetría cilíndrica, o utilizando modelos reducidos. Interpretación física de los resultados. Programación de cálculos postproceso. Horas: expositivas 0.5, clases interactivas de laboratorio 3.5.
11. Simulación con COMSOL de modelos 2D. Resolución de modelos 2D con datos no regulares, con especial énfasis en los conceptos de distribución y de solución débil. Análisis de resultados cuando la solución débil es conocida. Aplicación a la simulación de intercambiadores de calor bajo la hipótesis de simetría cilíndrica. Horas: expositivas 0.5, clases interactivas de laboratorio 3.
12. Simulación con COMSOL de modelos 3D en Mecánica de sólidos y transferencia de calor. Comparación de los resultados con los obtenidos con los modelos simplificados 2D. Horas: expositivas 0.5, clases interactivas de laboratorio 2.5.
13. Simulación 3D de la acústica de una habitación. Deducción de la ecuación de Helmholtz. Valores propios, frecuencia, amplitud. Efectos de distintos factores: ubicación del mobiliario, materiales, ubicación de la fuente de sonido. Comparación con ejemplos publicados en la bibliografía. Horas: expositivas 0.5, clases interactivas de laboratorio 3.5.
14. Introducción a la modelización de problemas acoplados fluido- estructura. Aplicación en Medicina: simulación 3D del flujo sanguíneo en una arteria y su interacción con las paredes. Horas: expositivas 0.5, clases interactivas de laboratorio 2.5.
• Bibliografía básica.
- CALDWELL J., DOUGLAS K.S. Mathematical Modelling. Case Studies and Projects. Kluwer texts in the Mathematical Sciences. Kluwer Academic Publishers. Vol. 28, 2004. Disponible online a través del acuerdo Springer y USC.
- PENA, F. , QUINTELA, P. Curso del Taller de Simulación Numérica. Notas y programas disponibles en el Curso Virtual. 2024-2025.
- QUINTELA P. Matemáticas en Ingeniería con MATLAB. Serv. Publicaciones Universidad de Santiago de Compostela. 2000.
- QUINTELA P. Métodos Numéricos en Ingeniería. Tórculo Edicións. Santiago de Compostela. 2001.
- VIAÑO, J.M – FIGUEIREDO, J., Implementação do Método de Elementos Finitos. Notas. 2000.
- Manuales de Software: Guías de usuario del software MATLAB y COMSOL.
• Bibliografía complementaria
- AHMED I., MODU G.U., YUSUF A., KUMAM P., YUSUF, I. A mathematical model of Coronavirus Disease (COVID-19) containing asymptomatic and symptomatic classes. Results in Physics 21 (2021).
- BERMÚDEZ A., Continuous Thermomechanics. Birkhäuser Verlag. 2005.
- GURTIN M.E., An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press. New York, 1981.
- JOHNSON C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by Finite Element Method. Cambridge Univ. Press, 1987.
- QUARTERONI A., SALERI F., Scientific Computing with MATLAB. Springer. 2003.
- RAVIART P.A. - THOMAS J.M. Introduction à l’Ánalyse Numérique des Équations aux Dérivées Partielles. Masson. 1983.
- SINGIRESU S.R., Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists. Prentice Hall, 2002.
- TIAN Y., ZHANG T., YAO H., TADÉ M.O. Computation of Mathematical Models for Complex Industrial processes. Advances in
Process Systems Engineering. Vol. 4. World Scientific, 2014.
Generales
Conocer los conceptos, métodos y resultados más importantes de distintas ramas de las Matemáticas, junto con cierta perspectiva histórica de su desarrollo.
Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales.
Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como no especializado.
Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
Específicas
Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.
Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.
Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos.
Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
Planificar y ejecutar algoritmos y métodos matemáticos para resolver problemas en el ámbito académico, técnico, financiero o social.
Utilizar aplicaciones informáticas de cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización y software científico, en general, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
Transversales
Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas.
Trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico.
Leer textos científicos tanto en las lenguas oficiales como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.
4 horas presenciales a la semana en las que se van intercalando las clases expositivas (aprox. 1h por semana), las clases interactivas de laboratorio (aprox. 3h por semana), y las tutorías en grupos muy reducidos en el laboratorio de informática (2h). En global, el alumno recibirá 14 horas de clase expositivas, 39 horas de clase interactivas de laboratorio, y 3 clases de control de las prácticas, de los conocimientos adquiridos, y del grado de avance de su aprendizaje.
El alumno dispondrá de una Web virtual, en la que se pondrá a su disposición diverso material relativo a la asignatura; además, podrá utilizarla como punto de encuentro con el profesor y con otros estudiantes de la materia. En las clases se usarán artículos recientes publicados en revistas científicas de ciencias aplicadas, medicina e ingeniería, como ejemplo de los problemas a estudiar y para reproducir sus resultados.
Durante el curso se facilitará la interacción con los alumnos a través del correo electrónico de los profesores, y de las herramientas virtuales disponibles en la Universidade de Santiago.
Se propondrán diversos ejercicios prácticos para su resolución personal.
A lo largo del curso se verificará el trabajo personal del alumno mediante la realización de 3 controles de comprobación del nivel de sus resultados en las distintas prácticas realizadas.
Examen (10 puntos): El examen final será teórico-práctico, en el que se plantearán cuestiones teóricas, prácticas, y de manejo de paquetes de software para la concepción y puesta en práctica de lo estudiado durante el curso. El examen se realizará en un aula de informática.
Trabajo Personal (10 puntos): incluye la evaluación del trabajo del alumno a lo largo del curso. Se realizarán 3 controles, que combinan un test virtual de los conocimientos teóricos estudiados con la realización de prácticas para evaluar su nivel a la hora de implementar y utilizar los conocimientos teóricos, los algoritmos estudiados y el material práctico de la materia. También se tendrán en cuenta los conocimientos teóricos demostrados en sus pruebas virtuales. Las pruebas de evaluación continua son las mismas y en la misma fecha para todos los grupos de la materia. La calificación del trabajo personal será la media de las calificaciones obtenidas en los tres controles de la materia. Las fechas de las pruebas de evaluación continúa serán anunciadas el primer día del curso y se celebrarán en el horario previsto para la materia.
Los alumnos que obtengan al menos un 7 en su trabajo personal podrán optar por mantener un 7 como nota final de la materia sin necesidad de presentarse al examen.
El examen será el mismo para todos los alumnos de la materia. Para los alumnos que se presenten al examen, la calificación final de la asignatura será el máximo entre la nota del examen y la media aritmética entre el trabajo personal y el examen.
En la segunda oportunidad de evaluación el alumno mantiene la nota obtenida con el trabajo personal a lo largo del curso. La calificación final de la segunda oportunidad viene determinada por los mismos criterios que en la primera oportunidad.
Se considera que la calificación es No Presentado si el estudiante no ha participado en ningún control práctico, ni se ha presentado al examen.
El sistema de evaluación propuesto evalúa el 100% del conjunto de las competencias básicas, generales, específicas y transversales descritas previamente.
Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións".
TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA Horas
Clases expositivas 14
Clases interactivas de laboratorio 39
Clases interactivas de controles intermedios del avance del estudiante: 3
Tutorías 2
Total horas trabajo presencial en el aula 58
TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO Horas
Estudio autónomo individual o en grupo: 25
Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos: 20
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio 35
Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca o similar 12
Total horas trabajo personal del alumno 92
Es recomendable haber cursado los cursos de ecuaciones diferenciales, métodos numéricos y modelización matemática.
Francisco Jose Pena Brage
- Departamento
- Matemática Aplicada
- Área
- Matemática Aplicada
- Teléfono
- 881813194
- Correo electrónico
- fran.pena [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Contratado/a Doctor
Peregrina Quintela Estevez
Coordinador/a- Departamento
- Matemática Aplicada
- Área
- Matemática Aplicada
- Teléfono
- 881813223
- Correo electrónico
- peregrina.quintela [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego, Castellano | Aula de informática 4 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego, Castellano | Aula de informática 4 |
| 23.05.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula de informática 2 |
| 01.07.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula de informática 2 |