Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego, Inglés
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Xeometría e Topoloxía
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
O estudo da topoloxía da recta real iniciouse na materia de "Introdución á Análise Matemática" e, no relativo á continuidade, desenvólvese na materia "Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variábel real". Agora, nesta materia vaise abordar o estudo da topoloxía non soamente da recta real, mais tamén dos espazos euclidianos de calquera dimensión. Ademais, farase un tratamento máis sistemático das cuestións consideradas.
Os principais obxectivos son:
• Estudar conceptos, métodos e propiedades métricas e, fundamentalmente, topolóxicas en R^n, partindo da súa estrutura euclidiana.
• Aplicar as técnicas de converxencia de sucesións ao estudo de propiedades relacionadas coa topoloxía. Estudar a completitude.
• Estudar a continuidade das funcións no ámbito dos espazos euclidianos. Identificar funcións continuas ou discontinuidades de funcións. Describir funcións xeometricamente. Dispor de exemplos de funcións que ilustren propiedades diversas. Expresar analiticamente transformacións xeométricas sinxelas.
• Comprender os conceptos de conexión e compacidade. Na súa expresión máis sinxela, o resultado típico dirá que toda función real continua con dominio un intervalo pechado alcanza o máximo, o mínimo e calquera valor intermedio; aprenderase que as únicas propiedades necesarias do intervalo son a conexión e a compacidade. É unha mostra dun dos aspectos máis característicos da matemática: como a solución de problemas, ás veces de formulación simple, require a miúdo de teorías moi abstractas.
Tema 1 Os espazos euclidianos (4 horas expositivas)
1.1 Produto escalar e norma euclidiana
1.2 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski
1.3 Distancia euclidiana. Propiedades; a desigualdade triangular
1.4 Bólas abertas
1.5 Distancia entre conxuntos. Conxuntos limitados. Diámetro
Tema 2 A topoloxía do espazo euclidiano (4 horas expositivas)
2.1 Definición de conxunto aberto
2.2 Propiedades características dos conxuntos abertos
2.3 Conxuntos pechados
2.4 Espazos e subespazos. Abertos relativos
Tema 3 Converxencia e completitude (4 horas expositivas)
3.1 Sucesións. Sucesións converxentes. Subsucesións
3.2 Converxencia e topoloxía
3.3 Sucesións de Cauchy
3.4 Completitude do espazo euclidiano
Tema 4 Continuidade (8 horas expositivas)
4.1 Definición de continuidade
4.2 Caracterizacións globais da continuidade
4.3 Continuidade secuencial
4.4 Función combinada
4.5 Homeomorfismos
4.6 Propiedades topolóxicas
Tema 5 Conexión (4 horas expositivas)
5.1 Conxuntos conexos
5.2 Conexión e continuidade
5.3 Conxuntos conexos por camiños
Tema 6 Compacidade (4 horas expositivas)
6.1 Conxuntos compactos
6.2 Compacidade e continuidade
6.3 Caracterización dos conxuntos compactos no espazo euclidiano (teorema de Heine-Borel)
Bibliografía básica:
Curso no campus virtual, tamén accesible en http://xtsunxet.usc.es/carlos/topoloxia1/
MASA VÁZQUEZ, X.M. Curso de topoloxía: dos números reais ao Grupo de Poincaré. USC Editora. Manuais, Universidade de Santiago de Compostela, 2020. (Edición revisada e actualizada do manual de 1999)
MASA VÁZQUEZ, X.M. Topoloxía xeral. Introducción aos espazos euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, Universidade de Santiago de Compostela, 1999.
Bibliografía complementaria:
BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980.
BUSKES, G. and VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 1996.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0665-1
CHINN, W.G. and STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.
SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.
Neste curso preténdese contribuír a mellorar as competencias básicas, xerais e transversais do Grao de Matemáticas. Ademais, traballaranse as seguintes competencias ESPECÍFICAS do grao:
CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática.
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática.
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou negalas.
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos.
CE5.- Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser quen de utilizalo en diferentes contextos.
CE6.- Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.
O traballo na aula co grupo grande consiste, fundamentalmente, en docencia impartida polo profesorado. De ordinario, nunha mesma sesión dedicarase un tempo á exposición ou ilustración dalgunha cuestión teórica, e outro tempo á considerar exemplos e á formulación de problemas ou exercicios. Procurarase a implicación de todo o alumnado na discusión das cuestións suscitadas.
Na docencia presencial en grupos reducidos (seminarios) propoñeranse e resolveranse cuestións teórico-prácticas e exercicios. Na docencia en grupos mais reducidos (laboratorios) darase preferencia á participación dos estudantes e a aclarar dúbidas sobre a teoría e os problemas e exercicios.
As titorías en grupos moi reducidos dedicaranse, de forma individual ou en grupos, a resolver as dúbidas e dificultades particulares que vaian xurdindo, e ao seguimento individualizado de cada estudante.
Haberá un curso virtual, onde aparecen detallados tódolos aspectos teóricos da materia e exercicios resoltos. Periodicamente, entregaranse ao alumnado boletíns de exercicios e cuestións a través do curso virtual.
A docencia expositiva e interactiva será de carácter presencial. As tutorías poden ser presenciais ou realizarse de xeito virtual. A comunicación co alumnado, ademais de presencial, tamén se poderá facer a través dos foros do curso virtual e do correo electrónico.
Haberá un dobre método de avaliación: a avaliación continua, baseada nas probas realizadas na clase e na participación, e a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o exame, fixado no calendario da facultade. A cualificación final obterase en tódolos casos pola seguinte fórmula, onde AC indica a cualificación da avaliación continua e EF a do exame final:
máx{ 0,3 AC + 0,7 EF, EF }.
A avaliación continua consistirá nunha proba que se realizará en clase na que cada estudante deberá resolver os exercicios que se lle indiquen. A participación nas clases expositivas e interactivas e nas titorías poderá ser valorada con ata + 1 punto. O exame final terá unha parte de teoría, que pode abarcar a definición de conceptos, o enunciado de resultados ou a súa demostración total ou parcial. A outra parte consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso. Cada unha das partes (teoría-exercicios) terá un peso de entre un 40% e un 60% do total.
A cualificación obtida na avaliación continua aplicarase nas dúas oportunidades dun mesmo curso académico (segundo semestre e xullo). Se o/a alumnno/a non se presenta ao exame final en ningunha das dúas oportunidades terá a cualificación de “Non presentado”, aínda que teña participado na avaliación continua.
A avaliación será equivalente en ambos grupos, aínda que as probas non sexan necesariamente as mesmas.
Ademais das competencias específicas, avaliaranse as competencias xerais CG1 (Coñecer os conceptos, métodos e resultados máis importantes), CG3 (Aplicar tanto os coñecementos teórico-prácticos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na definición e formulación de problemas e na procura das súas solucións) e CG4 (Comunicar -por escrito- coñecementos, procedementos, resultados e ideas).
Clases expositivas: 28 horas
Clases de seminario: 14 horas
Clases de laboratorio: 14 horas
Titorías en grupos moi reducidos: 2 horas
Actividades de avaliación: 5 horas
Tempo de traballo persoal non presecial: 87 horas
Total: 150 horas
No curso adícase moito tempo á resolución de exercicios. Obviamente, considérase un aspecto fundamental na aprendizaxe da materia. Isto non debe conducir a pensar que a teoría ten menos importancia: ben ao contrario, a teoría é a pedra angular da formación. Haberá que manexar certo número de definicións e resultados, que se terán que asimilar nun período breve de tempo. As demostracións dos resultados axudan a comprendelos mellor e permiten familiarizarse coas técnicas máis importantes; deben constituír un dos compoñentes fundamentais do estudo da materia. O outro, certamente, será o empeño na resolución dos exercicios.
Para o caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e revisión de cualificacións".
Enrique Macías Virgós
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813153
- Correo electrónico
- quique.macias [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidade
Antonio M. Gómez Tato
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813151
- Correo electrónico
- antonio.gomez.tato [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
Victor Sanmartin Lopez
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Correo electrónico
- victor.sanmartin [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Axudante Doutor LOU
Diego Mojon Alvarez
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Correo electrónico
- diego.mojon.alvarez [at] usc.es
- Categoría
- Predoutoral Ministerio
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIS_04 | Galego | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 02 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_03 | Castelán | Aula 09 |
| Mércores | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 06 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIS_02 | Castelán | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIS_01 | Castelán | Aula 08 |
| Xoves | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_02 | Castelán | Aula 09 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_03 | Castelán | Aula 08 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 02 |
| Venres | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIL_04 | Castelán | Aula 07 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula 07 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castelán | Aula 02 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_06 | Castelán | Aula 02 |
| 03.06.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 09.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |