Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Álxebra
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Coñecer algunhas das aplicacións mais importantes das matemáticas á teoría de números e á xeometría alxébrica.
Estudar os corpos de números así como os seus aneis de enteiros e comprender a utilidade de traballar con estes para traballar con certos problemas clásicos como resolver ecuacións diofantiana.
Coñecer os conceptos elementais de xeometría alxébrica así como algúns resultados básicos na devandita teoría.
O curso consta de dúas partes ben diferenciadas: unha destinada á teoría de números e unha destinada á xeometría alxébrica. Ademais, trátanse de forma transversal temas de álxebra conmutativa, que será a ferramenta común para o estudo tanto da teoría de números como da xeometría alxébrica. Cada bloque consta de 5 temas.
1. Repaso de aritmética clásica (4 horas expositivas). As ternas pitagóricas e o problema do número congruente; o anel dos enteiros gaussianos Z[i] e aplicacións.
2. Aneis de enteiros (3 horas expositivas). Extensións cuadráticas dos racionais; o anel de enteiros dun corpo de números; norma, traza e discriminante.
3. O teorema de Dedekind (3 horas expositivas). O problema da factorización única con exemplos; dominios de Dedekind e as súas propiedades; o teorema de Dedekind.
4. O grupo de clases e o grupo de unidades (4 horas expositivas). Ideais e formas cuadráticas; o teorema de Minkowski e aplicacións; o grupo de clases; o teorema de Dirichlet e aplicacións.
5. Factorización de primos en extensións (7 horas expositivas). Índice de ramificación e índice de inercia; subgrupos de descomposición e de inercia; o elemento de Frobenius. Introdución aos corpos locais.
6. A correspondencia entre álxebra e xeometría (5 horas expositivas). Conxuntos alxébricos afíns; o teorema da base de Hilbert; o Nullstellensatz de Hilbert.
7. O espazo afín e o espazo proxectivo (4 horas expositivas). O espazo afín: aneis de coordenadas e aplicacións polinómicas; o espazo proxectivo e as variedades lineais proxectivas; variedades afíns fronte a variedades proxectivas.
8. Curvas afíns (5 horas expositivas). Puntos múltiples e rectas tanxentes; multiplicidades e aneis locais; números de intersección.
9. Curvas proxectivas (5 horas expositivas). O teorema de Bézout; o teorema de Max Noether; aplicacións.
10. Introdución ás variedades alxébricas (2 horas expositivas).
Bibliografía básica:
Ireland, K.; Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory.
Springer-Verlag, 1990.
Marcus, D. A., Number Fields.
Springer-Verlag, 1977.
Fulton, W., Curvas algebraicas.
Ed. Reverté, 1971.
Bibliografía complementaria:
Fernando, J. F., Curvas Algebraicas.
Ed. Sanz y Torres, 2022.
Hartshorne, H., Algebraic Geometry.
Springer-Verlag, 1977.
Kirwan, F., Complex Algebraic Curves.
Cambridge University Press, 1992.
Neukirch, J., Algebraic Number Theory.
Springer-Verlag, 1977.
Swinnerton-Dyer, H. P. F., A Brief Guide to Algebraic Number Theory.
London Math. Soc., 2001.
Contribuír a alcanzar as competencias xerais, específicas e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC e, en especial, as seguintes:
Comunicación escrita e oral de coñecementos, métodos e ideas xerais relacionadas coa teoría de números e a xeometría (CG4).
Saber expoñer hipóteses e extraer conclusións usando argumentos ben razoados e sabendo identificar fallos lóxicos e falacias nas argumentacións (CG2, CE4).
Competencias específicas da materia:
Coñecer a teoría básica de factorización de ideais no contexto de aneis de enteiros algebraicos.
Aplicar devandito coñecemento á resolución de problemas clásicos como sumas de cadrados ou algúns casos do último teorema de Fermat.
Familiarizarse cos símbolos de Legendre e de Jacobi e a súa computación eficiente, así como algunhas das súas principais aplicacións.
Manexar con soltura o dicionario álxebra-xeometría. Describir operacións básicas en xeometría e describir as suas semellantes en álxebra.
Coñecer os aspectos máis importantes da teoría de curvas algebraicas planas e comprender o teorema de Bezout.
Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais que figuran na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC. A docencia impartirase en clases de encerado e titorías. Os alumnos poderán expoñer algúns aspectos da materia nas clases interactivas.
Ao longo do cuadrimestre, obteranse tres cualificacións diferentes que se empregarán para obter a nota da avaliación continua (C).
- Unha cualificación corresponderá ao traballo nos boletíns de exercicios (E). Ao longo do curso, o alumnado deberá entregar algún exercicio das listas de problemas, que pode facer individualmente ou por parellas. Tratarase en todos os casos de exercicios rutineiros para asentar os contidos das clases expositivas.
- Outra cualificación corresponderá a probas curtas nas clases de exercicios (P), que consistirán na resolución dalgún exercicio do boletín. Estas probas tamén se poden realizar individualmente ou por parellas.
- Unha cualificación correspondente a un pequeno traballo (T) a realizar individulamente ou en parellas. Este traballo deberase expoñer nunha das titorías en grupos moi reducidos. A avaliación do traballo consta de dúas partes: memoria (parte escrita) e exposición (parte oral).
A nota da avaliación continua calcularase como C = 0.3E + 0.3P + 0.4T. A participación activa nas clases, respondendo a preguntas ou resolvendo problemas no encerado, poderá engadir ata un punto extra na avaliación continua. A cualificación final do curso obterase tendo tamén en conta o exame final (F), mediante a fórmula min{10, max{F, 0.8C + 0.3F}}.
Estas especificacións aplicaranse tamén na segunda oportunidade.
Seguindo as directrices establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, o tempo que o estudante deberá dedicar á preparación da materia consiste en:
- 58 horas de traballo presencial.
- 92 horas de traballo persoal que comprenden as seguintes actividades:
- 52 horas de estudo autónomo.
- Elaboración de traballos e resolución de problemas: 25 horas.
- Lecturas recomendadas e procura de documentación: 5 horas.
- Preparación de presentacións orais: 10 horas.
Asistir a clases con regularidade. Facer os exercicios propostos polo profesor e levar a materia ó día. Ir a consultas cando se detecten dificultades.
Oscar Rivero Salgado
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álxebra
- Correo electrónico
- oscar.rivero [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Axudante Doutor LOU
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Galego | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Galego | Aula 09 |
| 01.06.2026 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 29.06.2026 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |