Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego, Inglés
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Primeiro semestre
Docencia: Sen docencia (En extinción)
Matrícula: Non matriculable (Só plans en extinción)
Esta é unha materia sobre os fundamentos das matemáticas que ofrece unha preparación para as demais materias da titulación de matemáticas. O alumnado desenvolverá bos hábitos de comprensión, comunicación e escritura matemáticas. Nela traballaranse métodos e técnicas de razoamento, principalmente de matemática discreta. Estes métodos aplicaranse para resolver varios problemas interesantes. Poderíase dicir que se trata dunha materia sobre entender e pensar, e non sobre calcular e memorizar regras.
O programa explora temas que involucran números, conxuntos e funcións. Con propiedades elementais deles, e a lóxica como base, pasamos á indución e á cardinalidade. En matemática discreta consideramos as técnicas de enumeración. O estudio dos números naturais inclúe as propiedades de divisibilidade e a aritmética modular.
1. Introdución á lóxica matemática. (1 hora expositiva)
1.1. Necesidade e importancia da linguaxe lóxica: Paraloxismos.
1.2. Lóxica proposicional: Proposicións atómicas e moleculares.
1.3. Táboas de verdade. Tautoloxías e contradicións.
1.4. O proceso de dedución. Razoamentos e demostracións formais no cálculo proposicional.
2. Conxuntos. (4 horas expositivas)
2.1. Conxuntos e elementos. Subconxuntos: Partes dun conxunto.
2.2. Representacións gráficas: Diagramas de Venn.
2.3. Conxunto referencial. Operacións con conxuntos: Propiedades. A álxebra de Boole das partes dun conxunto.
2.4. Recubrimento e partición. Unión disxunta e produto cartesiano.
3. Aplicacións. (4 horas expositivas)
3.1. Concepto de aplicación. Gráfica dunha aplicación: Exemplos.
3.2. Tipos de aplicacións: Inxectiva, sobrexectiva e bixectiva.
3.3. Composición de aplicacións: Propiedades. Aplicación inversa.
3.4. Extensións dunha aplicación ao conxunto de partes.
4. Relacións. (6 horas expositivas)
4.1. Noción de relación. Composición de relacións. Relación inversa.
4.2. Representacións gráficas.
4.3. Relacións binarias nun conxunto: Propiedades. Relación inducida.
4.4. Relacións de equivalencia: Clases de equivalencia: Propiedades. Conxunto cociente.
4.5. Factorización canónica dunha aplicación.
4.6. Relacións de orde:Representacións gráficas: Diagramas de Hasse (árbores). Orde total e parcial. Elementos destacados nun conxunto ordenado. Cadeas, retículos e conxuntos ben ordenados.
5. Conxuntos infinitos. (3 horas expositivas)
5.1. Conxuntos finitos e infinitos.
5.2. Os números naturais como clases de conxuntos finitos equipotentes.
5.3. Principio de indución. Operacións e orde en N.
5.4. Conxuntos numerables e non numerables. Os números racionais.
O procedemento diagonal e a non numerabilidade de R.
5.5. O axioma de elección e o lema de Zorn.
6. Combinatoria. (3 horas expositivas)
6.1. Variacións. Variacións con repetición.
6.2. Números factoriais. Permutacións. Permutacións con repetición.
6.3. Números combinatorios. Combinacións.
6.4. Combinacións con repetición.
6.5. Principio de inclusión-exclusión. Enumeración das aplicacións sobrexectivas.
6.6. O triángulo de Tartaglia-Pascal. O binomio de Newton.
7. Aritmética enteira e modular. (7 horas expositivas)
7.1. Operacións binarias.
7.2. Números enteiros e estrutura de (Z,+). Propiedades de Z.
7.3. Divisibilidade. Números primos e o teorema fundamental da aritmética.
7.4. Máximo común divisor e mínimo común múltiplo. Teorema de Bézout.
7.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides estendido.
7.6. Aritmética modular. Os aneis Z/(n). Congruencias. Unidades módulo n. O teorema de Euler-Fermat.
7.7. Ecuacións diofánticas. Resolución de ecuacións diofánticas lineais.
7.8. Números enteiros coprimos: O teorema chinés dos restos.
7.9. Polinomios nunha variable.
Bibliografía básica:
F. Aguado, F. Gago, M. Ladra, G. Pérez, C. Vidal, A. M. Vieites: Problemas resueltos de Combinatoria. Laboratorio de Sagemath, Ed. Paraninfo, S.A., 2018.
J.P. D’Angelo, D. B. West: Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.
V. Fernández Laguna: Teoría básica de conjuntos, Anaya, 2004.
M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente, M. Rodríguez: Álgebra y Fundamentos: una Introducción, Ariel, 2000.
K. H. Rosen: Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed., McGraw-Hill, 2004.
Bibliografía complementaria:
M. Anzola, J. Caruncho: Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), BUMAR, 1982.
E. D. Bloch: Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics, Springer, 2011.
T. S. Blyth, E. F. Robertson: Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.
R. Courant, H. Robbins: What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 1941
(2ª ed., rev. por Ian Stewart, Oxford University Press, 1996). Tr.: ¿Qué es la Matemática?, FCE, 2003.
D. E. Ernts: An Introduction to Proof via Inquiry-Based Learning, AMS/MAA Textbooks Vol. 73, 2022.
H. Rademacher, O. Toeplitz: Números y Figuras. Alianza editorial, 1970.
Contribuir a alcanzar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC: CB1, CB2, CB3, CB4, CB5, CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, CT1, CT2, CT3, CT5.
CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática.
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.
CE7 - Propoñer, analizar, validar e interpretar modelos de situacións reais sinxelas, utilizando as ferramentas matemáticas máis adecuadas aos fins que se persigan.
Sen docencia.
A avaliación consistirá na nota do exame final escrito.
Sen docencia.
Leovigildo Alonso Tarrio
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álxebra
- Teléfono
- 881813159
- Correo electrónico
- leo.alonso [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
| 09.01.2026 10:00-14:00 | Grupo de exame | Aula 06 |
| 19.06.2026 10:00-14:00 | Grupo de exame | Aula 06 |